线性代数学习笔记1：行列式和七个性质

行列式，简单来说，就是从一个方阵（n×n矩阵）计算出来的一个特殊数字。它可以看作是有向面积或体积在更高维空间的推广 。如果把矩阵看成一个对空间进行拉伸/压缩/翻转的操作，行列式就是这个操作对体积的影响因子 。行列式只对方阵定义，我们常用 det(A) 或 |A| 来表示矩阵 A 的行列式。

行列式在工程和编程中有不少用武之地：

• 线性方程组求解：判断方程组是否有唯一解。一个n元线性方程组有唯一解当且仅当对应系数矩阵的行列式不为0。这也是行列式概念最初出现的原因。如果行列式为0，说明方程组要么无解要么有无穷多解（矩阵不可逆）。反过来行列式非零表示矩阵可逆，能用例如克拉默法则直接解方程组。

• 图形变换与计算机图形学：在2D/3D图形变换中，变换矩阵的行列式告诉我们缩放比例和镜像翻转。行列式的绝对值表示面积或体积缩放倍数，符号表示是否发生了镜像（例如左右手坐标系切换） 。比如，在游戏引擎中判断一个变换是否保持朝向，可以看行列式是正是负；计算多边形面积、三角形面积也常用行列式公式。

• 线性无关性判断：矩阵的列（或行）向量组行列式不为0，意味着这些向量线性独立，不在同一个平面或更低维空间内。这等价于那个由向量构成的平行多面体体积不为0。行列式为0则说明这些向量有依赖关系，某几个维度塌陷到了低维，体积为0。

• 其他应用：比如在积分变换中的雅可比行列式（Jacobian determinant）用于坐标变换的体积元素缩放；在机器学习中判断矩阵条件数（行列式接近0表示矩阵病态）；图像处理中的畸变校正等，都可能遇到行列式的身影。

下面我们通过行列式的性质，理解行列式是怎么一回事。

性质1：行（或列）交换，行列式变号

打个比方，行列式就好比一个有方向的体积（面积）测量。交换矩阵的两行，相当于把构成这个体积的两个“轴”对调了位置。想象一下：原本你用右手系比划三个轴，结果交换了其中两个轴，就变成左手系了——坐标系的朝向翻转，导致体积测量的符号反了过来 。这就是行列式变号的由来：交换一次行（或列）会让行列式的值乘以 -1。

用数学形式表达：如果矩阵B是由矩阵A交换两行得到的，那么

比如，对于一个简单的2x2矩阵：

交换两行后变为

性质2：某一行（或列）全为 0，则行列式为 0

一组向量如果其中有一个完全是零向量，那拼不出任何体积来。想想看，如果一个盒子的长宽高其中有一项为0，那盒子的体积必然是0。同理，矩阵有一行全是0，就等于构成“体积”的一个维度长度为0，行列式当然为0。

性质3：某一行（或列）乘以常数 k，行列式也乘以 k

矩阵某一行伸长或缩短倍数，行列式作为体积也会相应放大或缩小同样的倍数 。生活中不妨想象一个可伸缩的盒子：如果你把盒子的长边拉长两倍，那盒子体积也就跟着变两倍；如果把高缩短成原来一半，体积就变成一半。注意：行列式乘以数值，只需要在1个向量上乘以数值即可，这和矩阵不一样。

性质4：某一行（或列）是两行之和，行列式可拆成两个行列式之和

这条性质体现了行列式关于每一行的线性可加性。通俗地讲，如果矩阵的某一行可以拆成两个部分相加，那么行列式的值也可以拆成两部分分别计算再相加。这有点类似于分摊工作：一行的贡献可以分成两份，各算各的行列式，最后把结果加起来。

性质5：两行（或两列）相同，行列式为 0

两行相同意味着这两个向量方向相同、完全重合，矩阵的行向量（或列向量）集合丢失了一个独立方向，相当于本应是立体的平行多面体塌扁在一个平面里，没有体积了。

性质6：两行（或两列）成比例，行列式为 0

这一条和性质5类似，也是说如果矩阵的两行在方向上完全相同（即其中一行是另一行的数倍），那行列式照样为0。因为成比例其实意味着这两行是平行或共线的向量，没有新增的维度信息。本质上还是线性相关导致“体积”坍塌：两行成比例，相当于其中一行可以由另一行伸缩得到，和它重合在一条线上或一个平面上，行列式必为零。

性质7：把一行（或列）的 k 倍加到另一行（或列），行列式不变

这条性质是前几个性质的组合

总结

行列式是一种定义在方阵上的特殊数值，体现了矩阵变换对空间体积（面积）的影响程度。在工程应用中，行列式广泛用于判断线性方程组解的唯一性、衡量图形变换的缩放与镜像效果，以及检测向量组的线性相关性。

笔记分别讲解了行列式的七个性质： • 性质1：交换矩阵任意两行（列），行列式符号改变。 • 性质2：矩阵中某一行（列）全为零，行列式必为零。 • 性质3：矩阵某一行（列）乘以常数，行列式也同时乘以该常数。 • 性质4：矩阵某行（列）为两行（列）相加，可将行列式拆分为两个子行列式相加。 • 性质5：矩阵中存在两行（列）相同时，行列式为零。 • 性质6：矩阵两行（列）成比例时，行列式也为零。 • 性质7：将一行（列）的若干倍加到另一行（列），行列式值不变。

通过以上性质的说明和实例展示，进一步明确了行列式的计算特性和几何含义，有助于在实际编程和工程实践中高效利用这些性质，简化矩阵和向量计算的复杂度，提高数值计算的效率和准确性。